大夏书系·数学何以育人：从课堂深耕到课程创生_牛献礼_9787576067576

本书系统总结了特级教师牛献礼关于数学育人的思考与实践，主张从数学教学走向数学教育，提升学生的核心素养。本书立足学科育人前沿，兼具理论高度与实践温度，以“理念阐释—策略提炼—课例实证”为脉络，按照理论奠基、策略支撑、案例佐证的三段式结构展开，为数学教育提供从课堂到作业、从单元教学到阅读课程的全链条解决方案，为小学数学教师提供“读得懂、学得会、用得上”的实用指南，是新课程改革背景下数学教师专业成长的优质资源库。

前言实现学科育人的前提是认真分析学科对于学生发展的独特教育价值。那么，数学的独特教育价值是什么呢？对此我们可以在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）中找到答案：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。”可见，数学的育人价值集中体现在通过数学教育教学活动帮助学生逐步形成和发展数学素养。为此，教师在教学中应重点做好以下几点。第一，时刻绷紧“育人”这根弦。新时代对人民教师提出“为党育人、为国育才”的要求，教师必须时刻绷紧“育人”这根弦。首先，教师要深入挖掘教学内容所承载的教育价值，有效拓展学科育人资源。比如，教学“小数的意义”时，教师以“中国C919大飞机上的精密零件”为学习活动的载体，既承载了小数的意义，即小数是度量数据精准化的数学表达，又与“工匠精神”的思想内涵相契合。只要拥有了数学育人的眼光，那么不仅仅是在数学教材中，在我们的优秀传统文化、科技发展史、数学史、现实生活中，都可能发现蕴含着的丰富育人资源。可以说，教师的眼界决定了课程的边界，创生课程应从更新自己开始。其次，教师要用爱和智慧包容接纳每一个学生，及时捕捉并利用教育教学中的育人资源，启智润心，点亮生命。最后，身教胜于言传，教师要不断提高自身道德修养，用自己的人格魅力去感染学生，做学生为学、为事、为人的“大先生”。第二，关注数学核心素养的落实。 2022年版课标确立了以核心素养为导向的课程目标。在数学教学中落实核心素养，教师不仅要整体把握数学内容之间的关联，还要把握数学内容主线与相应核心素养主要表现之间的关联，将问题情境、知识脉络、思想方法与核心素养培育相融相通。比如，教学“角的度量”时，其教学重点不是让学生简单掌握量角的方法与技能，而是引导学生经历1°角的产生过程，理解统一度量单位的必要性，发展学生的量感；继而通过真实的测量活动让学生理解角的大小就是角里面包含有多少个角度单位，然后将角的度量与长度、面积的度量相关联，使学生感悟相关数学知识内在的一致性，帮助学生学会用整体的、联系的眼光看问题，形成科学的思维习惯。这样一来，量感、空间观念、推理意识等核心素养自然渗透其中，实现了数学的育人价值。第三，引导学生完整经历数学知识的探究过程。数学育人是让学生学习像数学家那样思考、解决问题。为此，教师要引导学生完整经历数学知识的探究过程，即从真实情境中发现和提出问题，然后运用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析和解决问题，再反思问题解决的过程或结果，抽象、概括出数学知识，体会不同学习内容之间数学思想方法的一致性和可迁移性，最后将数学知识与方法应用于真实情境中解决问题。如此教学，不仅可以让学生了解数学知识的来龙去脉，还可以让学生在经历数学知识形成和发展的过程中体会数学的思想方法，逐步形成数学的思维方式，增强敢于质疑的科学态度与理性精神，这是其他学科无法替代且为数学学科所独有的教育价值。本书较为系统地总结了笔者近年来关于数学育人的思考与实践。全书共分为五章，第一章主要围绕“理解数学、理解学生、理解教学”阐释小学数学教师如何提升育人能力，这“三个理解”是中国教育学会中学数学教学专业委员会章建跃理事长首先提出来的，不仅适用于中学数学教学，同样适用于小学数学教学；第二章通过十节不同领域的典型课例，阐释小学数学“本真教学”的主张；第三章围绕单元整体教学的主题，结合典型案例，从操作层面明确“确定指向核心素养的单元学习目标—单元内容重组与课时规划—设计指向目标的核心任务序列”的步骤；第四章通过大量在实践中创造出来的典型案例，从实践层面明确了数学作业的价值取向、分类设计与评价反馈策略等；第五章通过若干典型案例阐释数学阅读课的开发与实践策略，期盼能对读者的数学阅读教学实践与探索提供启发。本书真实地记录了笔者近年来的教学思考与实践，在写作过程中学习借鉴了众多专家和优秀教师的研究成果，华东师范大学出版社的编辑在审校过程中做了大量工作，提出许多宝贵的建议，在此一并表示感谢。由于水平有限，时间仓促，书中难免出现疏漏之处，恳请各位读者批评指正。让我们在数学育人的道路上携手同行，共同成长！牛献礼

目录第一章 “三个理解”视域下的小学数学本真教学第一节理解数学，牢牢抓住数学本质/ 002 第二节理解学生，为学生的数学学习服务/ 011 第三节理解教学，让数学学习真实地发生/ 023 第二章探寻本真课堂教学，落实数学核心素养第一节基于概念理解，发展学生量感 ——“认识面积”教学案例与思考/ 034 第二节　聚焦度量本质，促进认知进阶 ——“长方形的面积”教学案例与思考/ 043 第三节　关注学习进阶，发展学生数感 ——“小数的初步认识”教学案例与思考/ 052 第四节　凸显计数单位，促进知识建构 ——“小数的意义”教学案例与思考/ 061 第五节基于统计视角，发展数据意识 ——“平均数”教学案例与思考/ 072 第六节直面真实困惑，发展符号意识 ——“用字母表示数”教学案例与思考/ 080 第七节聚焦真实问题，发展推理意识 ——“平行四边形的面积”教学案例与思考/ 086 第八节沟通知识联系，体会运算本质的一致性 ——“异分母分数加、减法”教学案例与思考/ 096 第九节凸显统计意义，发展数据意识 ——“认识百分数”教学案例与思考/ 102 第十节　以整体性设计促进模型意识的形成 ——“成正比的量”教学案例与思考/ 109 第三章单元整体教学的本真实践第一节　观念统领的小学数学单元整体教学设计/ 118 第二节　“小数除法”单元整体教学设计/ 124 第三节 “长方体和正方体”单元整体教学设计/ 151 第四章回归育人本真的数学作业设计与反馈第一节数学作业的价值重构与设计原则/ 178 第二节数学作业的类型及设计要素/ 183 第三节数学作业的有效反馈策略/ 209 第五章还原数学阅读的本来面目第一节数学阅读课的新课型构建与实施图谱/ 220 第二节用数学阅读开启学生的“认数”之旅 ——“数学阅读：数字的由来”案例与思考/ 227 第三节当绘本故事遇上数学知识 ——“数学阅读：《谁是小偷？》”案例与思考/ 234 第四节　从“你知道吗”到数学阅读的课程解码 ——“数学阅读：巧测金字塔的高度”案例与思考/ 242 后　记/ 249

第一节理解数学，牢牢抓住数学本质数学育人的载体是数学的内容及其反映的思想方法，理解数学是数学育人的根基，也是教好数学的前提。大量实践表明，数学教学质量低下主要缘于教师对数学内容的理解不到位。教师在数学的内容知识、实质性结构知识等方面的欠缺，导致他们对知识的发生发展过程、重点、难点和关键等不甚了了，从而就抓不住内容的核心，不能设置有利于学生理解知识的教学主线，也很难在教学中提出具有启发性和挑战性的问题，对学生数学学习指导的针对性、有效性也就大打折扣。教师想引导学生的数学思考，其前提是他自己知道怎么想；教师想让学生学会发现，首先他自己要成为发现者。理解数学，教师需要重点关注以下四个方面。一、整体把握小学数学课程内容，理解知识之间的关联布鲁纳提出，任何学科都拥有一个基本结构。整体把握小学数学课程内容，不仅仅是了解小学数学课程内容本身，还需要了解小学数学课程的内容结构。小学数学课程的内容结构包括显性的知识结构和隐性的思想方法结构。其中，知识结构包括知识发展的纵向联系、知识之间的横向联系。知识的纵向联系，一方面指所学知识与以前学习过的内容和将来要学习的内容的逻辑联系，另一方面指重要数学概念和方法在不同阶段的呈现方式和学习重点；横向联系是指不同内容和方法之间的实质性联系。在分析清楚知识结构和思想方法结构的基础上，可以寻找出整个内容结构中的核心内容（如下页图所示）。核心内容在学科本质上具有一致性，教师在教材研究、教学设计时，应该整体把握结构化的课程内容，从学科本质的视角建立内容之间的关联，然后遵照循序渐进的原则，逐步引导学生把每一个新知识点都放到完整的知识结构中去理解，也就是让学生“在森林里认识树木，而不是就树木认识树木”。要引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的认知结构，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养。以“图形的测量”为例，其本质是确定图形的大小，需要借助合适的度量单位，用度量单位的个数来表达。分析“图形的测量”系列单元教材编排，我们能从中发现相同的学习线索：先是认识某种新的度量属性（如面积是对现实生活中“面的大小”这一属性的刻画），体会这种属性是有确定大小的，可以选定一个单位进行量化；再是认识到刻画度量属性需要“标准单位”，感悟统一单位的必要性；最后是经历用单位的累积进行测量的过程，感悟度量的本质是度量单位的累积，度量的结果可以用“数+单位”来表达。如线段的长度是由若干条小线段组合而成的，图形的面积是由若干个小面积组合而成的，度量角度和体积也是同样的思路。可见，长度、面积、角度、体积的测量看似不同，实质相通，它们通过度量单位统一起来，而度量单位的可加性和度量单位的累积就是这个系列单元的学科本质。再如，整数、分数和小数都可以用“个数+计数单位”的形式来表达。如整数324是由3个百、2个十和4个一组成，其中“百、十、一”是整数的计数单位；小数3.24是由3个一、2个0.1和4个0.01组成，其中0.1和0.01是小数的计数单位；分数由4个组成，其中是分数的计数单位（分数单位）。因此，教学中教师要为学生提供结构化的学习资源，引导学生将整数、分数和小数的异同点关联起来，进一步感悟计数单位的价值，理解数在表达形式上的一致性。例如，在教学“数的认识总复习”时，先让学生在一条数轴上标出3、、0.3的位置，说清楚要先确定谁的位置并说明理由，促使学生在交流中理解“1”是建立整数、分数、小数关系的关键，因此，需要先确定“1”的位置，再相应地标出这三个数的位置：一个一个地数，数出3个“1”是3；把“1”平均分成4份，其中的1份是，数出3个是；把“1”平均分成10份，其中的1份是0.1，数出3个0.1是0.3。接着，教师通过追问引导学生进行比较：“这里都是数出了3个，为什么它们表示的数不一样呢？”促使学生发现这里的“3”是计数单位的个数，但是其计数单位不一样，所以表示的数不一样。此时教师适时板书3 = 3×1、 = 3×、0.3=3×0.1，引导学生明确整数、分数、小数在表达形式上看似不同，实质相通，都是计数单位的累加，都可以用“个数+计数单位”来表达。学生在“找计数单位”“数计数单位”“比计数单位”的活动中，理解了计数单位的核心价值，感受到了整数、分数、小数基于计数单位表达的一致性。二、理解基本数学概念的本质数学学习是理解性学习，学生只有在“知理”的层面才能将知识与技能转化成素养和能力。对于数学概念，学生不能“只知其然不知其所以然”，而要能够理解数学概念的本质内涵。以北师大版教材五年级“认识底和高”为例，小学阶段所研究图形的高，其本质是两条平行线（两个平行平面）之间的距离，脱离平行线（平行平面）就不存在高的概念。因此，北师大版教材不但将认识梯形、平行四边形和三角形的高编排在同一课时，而且先学习梯形的高（只有一组对边互相平行，所以只有一个“高度值”），然后学习平行四边形的高（两组对边分别平行，所以有两个“高度值”），最后学习三角形的高。表面上看，三角形中“不存在”平行线，难道三角形不存在高吗？这样，认识三角形的高就能自然而然地激发学生内在的探究欲望。平行线之间的秘密可以由学生探究发现，从而理解高的本质，认识图形的本质特征。知道图形的高度是几，就意味着能够摆几行“小正方形（面积单位）”，进而发现平行四边形与长方形、正方形面积之间的本质联系，也就可以将未知图形的面积问题转化为已知图形的面积问题。对于高，学生有较为丰富的生活经验，如测量身高、建筑物的高度等。但数学中图形的高与生活中的高既有相同点，也有不同点。相同点是它们都是线段的长度，都与垂直相关。不同点是生活中的高基本都与“水平方向”垂直，即竖直；而数学上的高没有方向之分，而是与对应的底相互垂直。在“认识梯形的高”的教学中，可以设计三个层次的活动：第一层次，由“生活经验”转向“数学概念”，初步感悟图形高的含义。呈现日常生活中的高，例如：“北京市公交地铁免票限高1.3米，是什么意思？”（由学生熟悉的身高抽象出对高的初步理解：1.3米是指从头顶到脚底的垂线段。）“桥洞限高4.5米，又是什么意思？”（如果把桥洞抽象成一个梯形，它的高在哪里呢？有多少条？有什么特点？）由对高的生活关注，过渡到关注底与高之间的对应关系和高的本质特征。第二层次，画梯形的高，再次感知高的本质：平行间的距离。教学时讨论如下三种画法的相同与不同之处，概括出高的概念。第三层次，充分利用学生关于高的迷思概念，引发学生讨论“虚线都是梯形的高吗？为什么？”（如下图所示），促进学生的深度思考，再次强化梯形高的本质：梯形的上底和下底之间的垂线段（两条平行线之间的距离）。再以计算教学为例，教师不能只教“怎么算”，还要解释算理，让学生理解“为什么可以这样算”。比如，教学一年级“整十数加整十数的口算”，“40+30”为什么可以先算“4加3”？这就要引导学生理解其中的道理，可以让学生借助“摆小棒”发现“4捆”和“3捆”加起来是“7捆”，也就是“4个十加3个十是7个十”，“几加几”计算的其实是“几个十”，是把相同的计数单位的个数相加。类似地，四年级学习“口算除法”，为什么计算60÷20时可以先“去掉被除数和除数末尾的0”呢？教学中，首先借助“分小棒”引导学生明白其中的道理：60里有6个十，20是2个十，先去掉0就是把60看作6捆，把20看作2捆，每2捆分为1份，6捆小棒就能分成3份。再结合“位值制”深入分析算理：“2个十为1份，6个十能分成这样的3份。”形象的“形”支撑抽象的“思”，从而引领学生从解决一道题，迁移到一类问题，自然建构“几加几”和“包含除”的数学模型，从而实现指向数学理解的深度学习。在乘法教学之初，教师应该先强调为什么要学习乘法。加法的本质是数数的简化，而乘法的本质就是复杂加法的简化。这既体现了“追求简单化”的数学灵魂，也体现了加法和乘法间的联系统一。要让学生不仅知道如何使用乘法，也知道为什么要使用乘法，“知其然也知其所以然”。教学多位数的乘法竖式计算，一定要让学生明白错位竖式运算的来源：127×43表示43个127，也就是3个127加40个127，40个127就是127×4后加上末位数0，结果是381+5080，最后被简化为错位竖式运算。乘法的竖式运算的理解要基于加法的竖式运算的理解——为了简单，为了准确，为了快速而引入竖式运算。计算分数乘法 ×，要先看分数的意义：表示把整体“1”平均分成4份，取3份；表示把整体“1”平均分成4份，取1份。再看分数乘法的意义：根据分数的意义，×的意思是有个，不到1个，只有4份中的1份，那么，×就是再把平均分成4份，取1份，也就是把整体“1”平均分成16份，取3×1份，即，也就是（如下页图所示），继而归纳出“分子乘分子做分子，分母乘分母做分母”的分数乘法计算法则。三、理解与义务教育数学课程关系密切的高等数学的内容，能够从更高的观点理解义务教育数学课程知识的本质小学生学的是很初等的数学，但在德国数学家、数学教育家克莱因看来，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有站位高了，事物才能显得简单明了。简单地说，就是站在数学本质的角度来思考所有数学教学。遗憾的是，当教师在小学教书多年后，把高等数学的知识和方法遗忘了，把初等数学中知识和方法的生长点也遗忘了。这就造成教师在教学中对学科的本质把握不住，对所教内容的数学内涵理解不深。例如，教学“用数对确定位置”，很多教师把教学重心放在反复练习用数对表示某个具体位置上。从更高的视角看，无论是一维空间、二维空间还是三维空间，数与点之间的一一对应性是用数对确定位置的本质。保证数与点能够建立一一对应关系的前提是建立唯一的坐标系，即参照点（坐标原点）唯一确定、方向确定（规定“从左往右、从下往上”）、单位唯一确定。坐标系可以是一维空间的数轴，也可以是二维空间的直角坐标系或三维空间的直角坐标系，其数学结构完全一样，只不过维数不同而已。小学阶段所学习的“用数对确定位置”是用有序数对来刻画二维空间中某点的位置，即在平面直角坐标系中研究点的位置是如何用数对来刻画的。虽然小学阶段所学习的坐标系是真正坐标系的雏形（只引入了平面直角坐标系的第一象限），但也必须具备坐标系的三个关键要素——原点、方向、单位。在唯一确定的直角坐标系下，一个有序数对与平面上的一个点就建立了一一对应关系。因此，学习“用数对确定位置”不能仅仅让学生学会用数对表示某个位置，更重要的是体会这种“表示”的价值——一个数对唯一地对应平面上的一个点，初步感知平面直角坐标系的表示方法以及思想。课堂教学中所有学习活动都是以这种一一对应为前提和基础的，有了数与点的一一对应，就便于交流与沟通，就能使空间有结构、有序，初步感受这种表示方法的“人为规定性”以及由此带来的便利。另外，在教学实践中，不乏一些优秀教师都是花很多时间让学生在“现实空间”中学习“用数对确定位置”，课堂气氛确实活跃，学生也乐于参与，但这样做实际上降低了学生的思维水平。本课的教学重点是在“平面图”（座位图、地图、比较直观的坐标图等）上来理解用数对描述点（某物）的位置，体会二者之间的一一对应关系，感受这种一一对应关系的价值：便于交流，使空间有序与结构化。再者，教学中，许多教师都要强调用数对符号（x，y）表示“位置”简洁。但从更高的视角审视，这样表示不能只强调“简洁”，更重要的是强调这种表示的统一性和结构性：所有人都这样表示。有了这种表示的统一性，就不会产生分歧，便于沟通和交流，甚至在此基础上产生了一门新的数学学科——解析几何。四、理解数学知识形成与发展过程中所蕴含的数学思想，具有在数学教学中渗透数学基本思想的意识和能力小学生学的数学很初等，很简单，但里面却蕴含了一些深刻的数学思想方法，如数形结合思想、函数思想、一一对应思想、转化思想等。数学思想是对数学内容和方法的本质认识与进一步抽象概括，它蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中。比如：“具体感知—比较分析—抽象概括”是形成数学概念的一般过程，其中蕴含了数学抽象思想；“观察操作—提出猜想—验证猜想”是探索数学规律的主要方式，其中蕴含了数学推理思想；运用数学知识解决实际问题，要先把现实问题通过语言抽象成数学表达式，然后在语言抽象的基础上进行符号抽象；“问题情境—建立模型—求解验证”是感悟模型思想的重要途径。因此，教师要结合数学知识的学习，有意识地帮助学生感悟数学思想。首推函数思想。比如学乘法，九九表总是要背的，“三七二十一”的下一句是“四七二十八”，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取的两个值。想法虽然简单，小学生却往往想不到，要靠老师指导、点拨。挖掘九九表中的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习的方法，也是在渗透变量和函数思想。再以数形结合思想的渗透为例，我们在教学的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学图形的时候就讲图形，缺少把两者联系起来的意识。其实，数和形的联系，几乎处处都有。例如，在认识数的时候，要举很多例子，可以引导学生举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。学习“1”的时候，可以举“1个圆有1个圆心”“1条线段有1个中点”“1个正方形有1个中心”等。举例时，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就会有一个直观的、初始的印象。同样，学习“2”的时候，可以教学生说：“一条线段有2个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后面学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边，3个顶点”。在学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有4条边，4个顶点”。孩子学语言之初不是通过理解，而是通过模仿开始的，小学生记忆力好，可以在早期多记一些东西，以后再慢慢理解。再以模型思想为例，小学数学教学内容虽然可能无法达到模型思想层面的高度，但大都对学生建立模型思想具有启蒙意义。比如，自然数可以看成用来描述一类等价集合元素个数的数学模型，四则运算可以看成一类具有相同数量关系的数学模型，含有字母的式子可以看成一类具有相同结构的数学模型，等等。教学这些内容时，不仅要让学生经历概念的抽象过程，还要引导他们用同一个数、同一个算式、同一个字母式讲出更多不一样的“故事”，从而渐渐领悟模型思想的一般性特征。笔者在教学一年级“认识加法”时，让学生以“了不起的加法算式”为主题画一幅画，促使学生进一步理解“加法就是把两个部分‘合起来’”，初步体会加法算式这一数学模型的抽象性和概括性，发展模型意识。孩子们思维活跃，作品精彩纷呈（如下图所示）。又如，教学“积的变化规律”：（1）先从口算引入，课件呈现25×4、25×8，口算答案。（2）呈现25×16，学生有的说300（因为之前是100、200），有的发现了算式间的联系，说“因为8到16是乘2，所以积200也乘2是400”。教师质疑，问“到底有没有这种联系，答案对不对”，让学生用竖式验证，确认是400。（3）呈现25×48，重复上述步骤，增强感知。（4）让学生说一说“有什么发现”，学生提出“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”，教师简要板书。（5）教师引发猜想：“这只是通过两个例子得出的经验，其他乘法算式里是不是也有这样的规律呢？还不能确定，所以它只是一个猜想。怎样验证呢？”教师板书“猜想”，并在之前的板书后面打上“？”。学生提出举更多的例子来验证，并各自举例，展示交流，确认均如此，且找不到反例。（6）教师引导学生进行方法提炼：“数学学习中，有了一个猜想之后，我们可以举大量的例子来验证，这样得到的结论往往更可信。”（擦去“？”）以上步骤，潜移默化地引导学生经历了不完全归纳数学思想方法的洗礼，形成的板书“猜想—验证”不只停留在黑板上，更是深深地印在了学生的心里，成为学生难以忘怀的学习收获。

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