本书由安徽大学、合肥大学、合肥师范学院、安庆师范大学和池州学院5 所高等学校联合编写，结合各高等学校教学实践，经过反复修订，严格契合高等学校数学、信息与计算科学和统计学等专业“常微分方程”课程教学大纲要求.全书围绕常微分方程展开系统论述，构建了“基础理论—求解计算—数值模拟分析—实际应用”的完整知识体系. 其中，基础理论部分阐释常微分方程的核心概念、分类及解的存在唯一性等性质，引入皮卡逐次逼近法、朗斯基行列式等关键工具；求解计算部分针对一阶、高阶微分方程，以及一阶线性微分方程组，提供变量分离、常数变易、特征值等解法，实现方程的解析求解；数值模拟分析部分介绍欧拉法、龙格-库塔法等初值问题的经典数值方法，结合MATLAB 和MWORKS，展示数值解的计算与可视化，以解决难以求得解析解的复杂问题；实际应用部分联动社会生活、经济、生态、医学等领域，通过“问题分析—变量抽象—方程建模—求解计算—结果解读”流程，运用解析或数值方法解决实际问题.本书理论与案例结合，解析与数值并重，可作为综合性大学及师范院校相关专业“常微分方程”课程的教材，也可作为“数学模型”课程的参考资料，助力读者全面掌握常微分方程的核心理论、求解方法及实践应用，培养其解决实际问题的能力.

齐龙兴，安徽大学教授，中国数学会生物数学专业委员会第九届委员会委员、中国工业与应用数学学会体育数学专委会委员。主要研究方向为常(偏)微分方程定性理论和生物数学。荣获安徽省高等学校省级教坛新秀、安徽大学第五届青年教师基本功大赛一等奖、首届（2015）安徽省高校数学微课程教学设计竞赛二等奖届（2015）全国高校数学微课程教学设计竞赛二等奖等称号或奖项；指导学生参加全国和美国大学生数学建模竞赛荣获国际一等奖、全国二等奖、安徽省一二等奖，指导学生参加校互联网+创新创业大赛荣获银奖。

第1 章 基础理论 ..................................................................................................................... 1
1.1 基本概念 .................................................................................................................... 2
1.1.1 微分方程的术语 ............................................................................................. 2
1.1.2 微分方程的表示 ............................................................................................. 3
1.1.3 微分方程的分类 ............................................................................................. 4
1.1.4 微分方程的解 ................................................................................................. 6
1.1.5 微分方程组 ..................................................................................................... 7
1.1.6 习题 ............................................................................................................... 14
1.2 一阶微分方程 .......................................................................................................... 15
1.2.1 变量分离方程与可化为变量分离方程的微分方程 ................................... 16
1.2.2 齐次与非齐次线性微分方程 ....................................................................... 21
1.2.3 恰当与非恰当微分方程 ............................................................................... 25
1.2.4 显式与隐式微分方程 ................................................................................... 26
1.2.5 习题 ............................................................................................................... 27
1.3 高阶微分方程 .......................................................................................................... 28
1.3.1 高阶齐次与非齐次微分方程 ....................................................................... 29
1.3.2 高阶常系数与变系数微分方程 ................................................................... 31
1.3.3 习题 ............................................................................................................... 32
1.4 一阶线性微分方程组 .............................................................................................. 33
1.4.1 齐次与非齐次线性微分方程组 ................................................................... 33
1.4.2 常系数与变系数线性微分方程组 ............................................................... 35
1.4.3 习题 ............................................................................................................... 36
1.5 解的性质与结构 ...................................................................................................... 37
1.5.1 一阶微分方程的解的性质与结构 ............................................................... 38
1.5.2 高阶线性微分方程的解的性质与结构 ....................................................... 53
1.5.3 一阶线性微分方程组的解的性质与结构 ................................................... 65
1.5.4 习题 ............................................................................................................... 77
第2 章 求解计算 ................................................................................................................... 79
2.1 一阶微分方程的求解 .............................................................................................. 80
2.1.1 变量分离方程与可化为变量分离方程的微分方程的求解 ....................... 80
2.1.2 齐次与非齐次线性微分方程的求解 ........................................................... 87
2.1.3 恰当与非恰当微分方程的求解 ................................................................... 92
2.1.4 显式与隐式微分方程的求解 ....................................................................... 98
2.1.5 习题 ............................................................................................................. 104
2.2 高阶微分方程的求解 ............................................................................................ 107
2.2.1 高阶常系数齐次线性微分方程的求解 ..................................................... 107
2.2.2 高阶常系数非齐次线性微分方程的求解 ................................................. 113
2.2.3 高阶变系数齐次线性微分方程的求解 ..................................................... 120
2.2.4 高阶非线性微分方程的求解 ..................................................................... 122
2.2.5 习题 ............................................................................................................. 125
2.3 一阶常系数线性微分方程组的求解 .................................................................... 127
2.3.1 一阶常系数齐次线性微分方程组的求解 ................................................. 127
2.3.2 一阶常系数非齐次线性微分方程组的求解 ............................................. 137
2.3.3 习题 ............................................................................................................. 140
第3 章 数值模拟分析 ......................................................................................................... 142
3.1 数值模拟和求数值解的方法 ................................................................................ 142
3.1.1 欧拉法 ......................................................................................................... 144
3.1.2 龙格-库塔法 .............................................................................................. 145
3.1.3 单步法的进一步讨论 ................................................................................. 148
3.1.4 习题 ............................................................................................................. 150
3.2 MATLAB 软件的应用 .......................................................................................... 151
3.2.1 可求精确解的方程（组） ......................................................................... 152
3.2.2 不可求精确解的方程（组） ..................................................................... 158
3.2.3 习题 ............................................................................................................. 168
3.3 MWORKS 软件的应用 ......................................................................................... 168
3.3.1 可求精确解的方程（组） ......................................................................... 170
3.3.2 不可求精确解的方程（组） ..................................................................... 176
3.3.3 习题 ............................................................................................................. 185
3.4 基础操作附录 ........................................................................................................ 186
3.4.1 MWORKS.Syslab 的安装与配置 .............................................................. 186
3.4.2 MWORKS.Syslab 界面介绍 ...................................................................... 191
3.4.3 MWORKS.Syslab 常用的命令和函数 ...................................................... 193
3.4.4 简单案例实操 ............................................................................................. 200
第4 章 实际应用 ................................................................................................................. 202
4.1 社会生活应用 ........................................................................................................ 202
4.2 经济模型应用 ........................................................................................................ 204
4.3 生态模型应用 ........................................................................................................ 206
4.4 传染病模型应用 .................................................................................................... 209
参考文献 ................................................................................................................................. 214