本书详细介绍了辛几何算法、保能量算法和保体积算法的基础、理论分析、构造和应用,包括多步辛算法、辛Runge-Kutta算法的存在性、辛算法形式能量收敛性分析、保结构算法在等离子体物理和同步发电机系统中的应用，辛几何算法在非线性Schr。dinger方程中的应用以及如何将辛几何算法与神经网络相结合,构造可以逼近任意一个辛映射的保辛结构的神经网络。为了便于读者理解和复现本书中的研究结果,我们提供了保结构算法的具体形式并列出了大量的数值实验。

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教育部自然科学奖一等奖，2018年，排名第1

目录
“现代数学基础丛书”序
前言
第一部分 几何算法基础
第1章 辛几何算法基础 3
1.1 哈密尔顿系统 3
1.2 k-形式 9
1.3 辛几何 13
1.3.1 流形上的辛结构 14
1.3.2 哈密尔顿相流和能量守恒 16
1.3.3 向量场的李代数 17
1.3.4 哈密尔顿函数的李代数 19
1.3.5 辛群 20
1.3.6 Darboux定理 21
第2章 辛算法的构造 22
2.1 哈密尔顿系统的辛几何算法 22
2.2 生成函数法 28
2.2.1 线性辛映射和线性梯度映射及其生成函数 31
2.2.2 辛映射和梯度映射及其生成函数 34
2.2.3 哈密尔顿系统相流的生成函数 36
2.3 辛Runge-Kutta方法 41
2.4 分块辛Runge-Kutta方法 43
2.5 配置方法 47
2.6 变分辛算法 49
2.7 B-级数 52
第3章 保能量算法和保体积算法 59
3.1 保能量算法的构造 59
3.1.1 首次积分 59
3.1.2 离散梯度法 62
3.1.3 平均向量场方法 64
3.1.4 线积分方法 65
3.2 保体积算法的构造 72
3.2.1 无源系统 73
3.2.2 中点格式保体积的条件 76
3.2.3 保体积格式的构造 78
3.2.4 可分分块系统的保体积算法 81
第4章 辛算法形式能量收敛性分析 85
4.1 辛算法形式能量的存在性 86
4.2 中点格式的形式能量的收敛性分析 92
4.2.1 根树和无根树的生成函数 95
4.2.2 四种不同类型的树的系数公式 96
4.3 形式能量的收敛性分析 99
4.3.1 修正方程系数的计算公式 101
4.3.2 中点格式形式能量系数的表示 103
4.3.3 中点格式形式能量中系数的收敛性 106
4.3.4 其他Runge-Kutta格式形式能量系数的收敛性 110
第5章 线性多步法 112
5.1 显式的Adams方法 112
5.2 隐式的Adams方法 114
5.3 线性多步法非辛 118
5.3.1 基本引理 118
5.3.2 主要结果 125
5.4 多步共轭辛格式的存在性 127
5.4.1 基本引理 131
5.4.2 结论和新猜想 132
5.4.3 另一定义下辛多步法的不存在性 134
5.5 保持不变量的数值方法的代数途径 135
5.5.1 基本代数工具 136
5.5.2 保持精确的不变量 140
5.5.3 修正不变量的保持 144
5.6 对称线性多步法的共轭辛性 145
5.6.1 线性多步法的修正哈密尔顿量 146
5.6.2 定理5.16的必要性证明 148
5.6.3 定理5.16的充分性证明 149
第6章 非正则哈密尔顿系统的显式 K 辛算法 150
6.1 可分非正则哈密尔顿系统的显式 K 辛算法 150
6.1.1 非正则哈密尔顿系统 150
6.1.2 生成函数 155
6.1.3 分裂方法 160
6.1.4 数值实验 168
6.2 不可分非正则哈密尔顿系统的显式 K 辛算法 173
6.2.1 具有特殊结构的非正则哈密尔顿系统的显式 K 辛算法 177
6.2.2 一般不可分非正则系统的显式 K 辛算法 183
6.2.3 能量误差分析 186
6.2.4 数值实验 187
第7章 Poisson系统的Poisson算子 206
7.1 Poisson系统和Poisson算子 207
7.2 基于分裂方法的Poisson算子 209
7.2.1 分裂成两个子系统的Poisson系统 209
7.2.2 分裂成n+1个子系统的Poisson系统 211
7.2.3 分裂成m个子系统的Poisson系统 213
7.3 三个Poisson系统 214
7.3.1 单粒子系统 214
7.3.2 导心系统 215
7.3.3 Ablowitz-Ladik模型 216
7.4 数值实验 217
7.4.1 数值方法 217
7.4.2 单粒子系统的数值实验 218
7.4.3 导心系统的数值实验 222
7.4.4 Ablowitz-Ladik模型的数值实验 226
7.5 本章小结 228
第二部分 几何算法在等离子体物理中的应用
第8章 单粒子系统的显式辛几何算法 231
8.1 基于生成函数的辛算法 232
8.2 非相对论系统的显式辛几何算法 234
8.3 相对论系统的显式辛几何算法 239
8.4 本章小结 245
第9章 针对粒子系统的保体积算法 246
9.1 背景介绍 246
9.2 非相对论粒子系统的保体积算法 246
9.3 相对论系统的保体积算法 248
9.3.1 保体积算法的构造 248
9.3.2 数值实验 252
9.4 本章小结 254
第10章 针对导心系统的辛几何算法 255
10.1 导心系统 255
10.2 导心系统的正则化 258
10.3 在磁面假设下对导心系统的正则化 263
10.4 数值实验 265
10.4.1 偶极子场 265
10.4.2 托卡马克磁场 267
10.5 本章小结 272
第11章 导心系统的保能量算法 273
11.1 引言 273
11.2 导心系统的基于离散梯度法的保能量算法 274
11.3 导心系统的基于平均向量场方法的保能量算法 276
11.4 数值算例 280
11.4.1 离散梯度保能量算法的数值算例 280
11.4.2 平均向量场保能量算法的数值算例 284
11.5 本章小结 291
第12章 针对Vlasov-Maxwell系统的辛几何算法 292
12.1 Vlasov-Maxwell系统的正则辛结构 292
12.2 本章小结 298
第三部分 几何算法在同步发电机系统中的应用
第13章 稳态系统 301
13.1 引言 301
13.2 交流同步发电机系统 302
13.3 保结构算法 306
13.3.1 端口哈密尔顿形式的发电机系统 306
13.3.2 保结构算法 309
13.3.3 配置法 310
13.3.4 保结构性质 313
13.4 数值模拟 315
13.5 本章小结 320
第14章 故障暂态系统 321
14.1 引言 321
14.2 同步发电机系统 322
14.2.1 一般情况的建模 322
14.2.2 一般情况的约化 325
14.2.3 一个算例 330
14.3 数值模拟 336
14.4 本章小结 339
第四部分 辛几何算法在非线性Schr？dinger方程中的应用
第15章 非线性Schr？dinger方程的辛算法和保能量算法 343
15.1 非线性Schr？dinger方程的普通空间离散 344
15.2 普通空间模型的哈密尔顿结构 346
15.3 普通空间离散模型的不变量 348
15.3.1 原非线性Schr？dinger方程的连续不变量 348
15.3.2 普通模型的离散不变量 350
15.3.3 普通模型的离散逼近量 351
15.4 普通空间模型的显式辛格式 352
15.5 普通空间离散模型的辛模拟 357
15.6 非线性Schr？dinger方程的保能量算法 366
15.6.1 空间上的Fourier展开 367
15.6.2 Fourier-Galerkin空间半离散 372
15.6.3 哈密尔顿边值方法 375
第16章 Ablowitz-Ladik 模型的辛算法 383
16.1 非线性Schr？dinger方程的Ablowitz-Ladik模型 383
16.2 Ablowitz-Ladik模型的离散不变量 386
16.3 Ablowitz-Ladik模型的辛模拟 387
16.3.1 Ablowitz-Ladik模型的标准化 388
16.3.2 辛格式及非辛格式 390
16.3.3 数值实验 391
16.4 Ablowitz-Ladik 模型的显式分裂 K 辛算法 397
16.4.1 明孤立子情形下的显式分裂 K 辛算法 397
16.4.2 暗孤立子情形下的显式分裂 K 辛算法 398
第五部分 保持辛结构的深度神经网络
第17章 辛矩阵的单位三角分解 413
17.1 基本性质 416
17.2 单位三角分解 419
17.2.1 左上块非奇异的辛矩阵 426
17.2.2 对称正定辛矩阵 427
17.2.3 辛M-矩阵 428
17.3 无约束参数化与优化 429
17.3.1 一般矩阵的参数化 429
17.3.2 对称正定辛矩阵的参数化 430
17.3.3 奇异辛矩阵的参数化 431
17.3.4 无约束优化 436
17.4 本章小结 437
第18章 保辛结构的神经网络 438
18.1 问题设立 439
18.2 网络结构 439
18.2.1 线性模块 441
18.2.2 激活模块 442
18.2.3 梯度模块 442
18.2.4 辛网络 443
18.3 辛网络相关理论 444
18.3.1 代数性质 444
18.3.2 逼近性质 445
18.4 模拟结果 453
18.4.1 超参数 453
18.4.2 单摆问题 453
18.4.3 双摆问题 459
18.4.4 三体问题 462
18.5 本章小结 464
第19章 保测度神经网络的逼近能力 465
19.1 引言 465
19.2 预备知识 466
19.2.1 符号与定义 466
19.2.2 保测度神经网络 467
19.3 主要结果 468
19.4 讨论 469
19.4.1 学习保测度流 469
19.4.2 逼近定理的应用 470
19.5 证明 471
19.5.1 保测度神经网络的性质 471
19.5.2 逼近流 475
19.5.3 定理 19.1 的证明 483
19.6 实验细节 484
第20章 神经常微分方程的数值分析 485
20.1 引言 485
20.2 预备知识 486
20.3 反修正方程 487
20.4 主要结果 489
20.4.1 严格分析 489
20.4.2 fθ与f之间的差异 490
20.4.3 学习哈密尔顿系统 491
20.4.4 讨论 492
20.5 反修正方程的计算 494
20.5.1 用李导数计算精确解 494
20.5.2 Runge-Kutta方法的展开式 495
20.5.3 计算反修正方程的两个例子 496
20.6 定理证明 498
20.6.1 反修正方程的性质 498
20.6.2 Runge-Kutta 方法的性质 499
20.6.3 截断估计 502
20.6.4 定理20.1的证明 506
20.6.5 定理20.2的证明 507
20.6.6 推论20.1的证明 507
20.6.7 引理20.1的证明 508
20.7 实验细节 509
第21章 隐式微分方程网络及其数值误差分析 512
21.1 引言 512
21.2 隐式微分方程网络 512
21.3 隐式格式的反修正方程 513
21.3.1 线性微分方程 514
21.3.2 非线性微分方程 514
21.4 主要结果 517
21.5 证明 519
21.5.1 定理21.1的证明 519
21.5.2 引理21.1的证明 525
21.5.3 定理21.2的证明 526
21.5.4 定理21.3的证明 530
21.6 微分方程网络中隐式格式的实现 530
21.7 数值实验 532
21.7.1 阻尼摆系统 532
21.7.2 学习实验数据动力学 535
21.8 本章小结 537
第22章 线性多步神经网络的先验误差分析 538
22.1 引言 538
22.1.1 线性多步法 539
22.1.2 使用线性多步法学习动力学 540
22.1.3 小结 540
22.2 符号与定义 541
22.3 线性多步法的反修正方程 542
22.4 主要结果 544
22.5 证明 546
22.5.1 线性多步法的反修正方程 546
22.5.2 截断估计 550
22.5.3 定理22.2的证明 553
22.5.4 定理22.3和定理22.4的证明 557
22.6 数值实验 561
22.6.1 阻尼振子系统 562
22.6.2 Lorenz系统 565
22.6.3 糖酵解振子系统 567
22.7 本章小结 569
第六部分 附 录
附录 573
A.1 定理2.4的证明 573
A.2 定理4.5的证明 574
A.3 引理4.1的证明 577
A.4 定理4.8的证明 580
A.5 引理4.2的证明 584
A.6 定理4.9的证明 586
A.7 定理4.10的证明 588
A.8 定理5.8的证明 589
A.9 第8章中非相对论系统中二阶格式的证明 590
A.10 第9章中Cayley变换的显式证明 594
A.11 定理13.1的证明 594
参考文献 602
“现代数学基础丛书”已出版书目 630