数学家的聪明是由于其思维的奇特性，还是与之无关？这是一个令人刺激的问题。在这本发人深省的书中，帮助创立了混沌理论的著名数学物理学家吕埃勒为我们呈现了他对所了解的知名数学家的一个珍贵的内行描述。作者毫不掩饰他对图灵和格罗滕迪克、汤姆、黎曼、克莱因等数学家的看法和深刻反思。每一章都探讨了一个重要的数学思想及其背后富有远见的思维。作者意味深长地阐发了每一章引出的哲学话题，提供了数学家真正独创的思维方式的洞察，表明了数学领域何以最适合探讨关于含义、优美和现实的本质等哲学问题。本书将带你进入数学家的大脑，这会是一次令你难以忘怀的旅程。

此书最大的特点就是，它由一系列小而精的短文组成，给人的感觉是像一本轻松的随笔集，一扫数学严肃的面孔。但是，它又是一本专业作者的力作，保证了其叙述的水准和独到的见解。该书也反映了法国数学的伟大传统，具有很高的价值。

不懂几何者不得入内
据说柏拉图在雅典学园的门口挂了一个标语牌：不懂几何者不得入内。从很多方面讲，对那些想要理解事物本性的人来说，数学至今仍然是一个重要的准备。可是，一个人可以不必经受长久而枯燥的学习就进入数学的世界吗?是的，在某种程度上你可以做到这一点，因为那些有好奇心有修养的人(从前称为哲学家)感兴趣的并不是宽泛的专业知识。相反，旧式的哲学家(比如你和我)想要看到的是，人类思维或者我们可以说是数学家的大脑如何去把握数学实在。
我想在这里提供一种看待数学和数学家的观点，要能够同时吸引那些没有受过多少数学训练的门外汉和众多有数学素养的专业读者。我不打算系统地照大多数人的观点人云亦云。相反地，我将努力呈现一些前后一致的事实和意见，这些意见曾得到我相当大一部分活跃的数学同事的认可。虽然我无法期望给出全面的表述，但我将揭示出数学与数学家之间关系的诸多方面。有些方面将显得不那么令人钦佩，也许我本该避而不谈，然而我在这里强调了真实性。我也可能会因为强调了数学的形式和结构方面而被人指责，但这些方面或许正是本书的读者最感兴趣的。
人类的交流基于语言。在人类经验的背景下，我们每个人通过与其他语言使用者接触，获得并保持了交流的方法。人类语言是真理的媒介，但也会有差错，也会误导人，也会无意义。因此，比方说，在我们当前的讨论中，使用语言就需要非常谨慎。我们可以通过所用术语的显式定义来改进语言的精确性。但这个方法也有它的局限性：一个术语的定义需要用到其他术语，结果所需要的术语又需要另外定义，如此等等。然而在数学中却发现了一个可以终止这个永无止境的倒退的办法：通过在未加定义的数学术语之间假定一些逻辑关系(称为公理)而绕开了定义的应用。利用引进的数学术语和公理，就可以定义新的术语并开始构建数学理论。原则上，数学并不依赖于人类语言，它可以采取一种形式的表述，使得任何推断的有效性可以被机械地检验，而不必担心会出差错或被误导。
人类语言承载着一些像含义或优美的概念。这些概念对我们非常重要，但很难给出一般的定义。也许我们可以期望，比起这些一般的概念，数学上的含义和优美要更容易分析。我将用一些篇章来讨论这样的问题。
一个显著的对比出现在人类思维的不可靠性与数学推理的绝对可靠性之间，也出现在人类语言的模糊性与形式数学的完全精确性之间。当然，正如柏拉图所强调的，这一点使得研习数学成为哲学家的必修课。但柏拉图认为，学习数学只是一种智力锻炼而非终极目的。我们许多人将一致同意，对哲学家(比如你和我)来说，比起数学经验(无论它多么有价值),还有许多更有趣的事情。
本书是为具有各种数学专长(包括最低水平)的读者而写的。它的大部分内容是对数学和数学家的非专业讨论，但我也插入了少量真正的数学，有容易的，也有不那么容易的。我鼓励读者，无论你的数学基础如何，一定要尽力理解数学部分的段落，或者至少浏览一遍，而不是直接跳到其他章节。
数学有许多方面，那些涉及逻辑、代数和算术的方面是其中最困难、最专业化的。但在这些方向得到的一些结果却非常惊人，介绍起来也相对容易，而且或许最能吸引读者。因此我主要强调了这些方面。然而，我要说本人的专长是在其他领域：光滑动力系统和数学物理。因此读者将不至于惊讶于书中有一章专门讨论数学物理，展现数学是如何应用于其他方面的。这里的其他方面就是伽利略所谓的自然之书,他曾用尽一生来研究它。最重要的是，如伽利略所说的，自然之书是用数学的语言写成的。

[法]大卫·吕埃勒，法国著名数学物理学家，数学科普作家，国际混沌学研究权威，著名的奇异吸引子概念的首创者。著有《机遇与混沌》等经典普及作品。

中译本序 Ⅰ
前言 Ⅰ
1 科学的思维 001
2 数学是什么 006
3 埃朗根纲领 014
4 数学及其形态 021
5 数学的统一性 028
6 代数几何与算术一览 035
7 我和格罗滕迪克的南锡之旅 041
8 结构 050
9 计算机与人脑 055
10 数学文本 061
11 荣誉 067
12 无穷：上帝的烟幕 073
13 基础 080
14 结构与概念的创造 087
15 图灵的苹果 093
16 数学创造：心理学与美学 101
17 单位圆定理与无穷维迷宫 108
18 错误！ 116
19 《蒙娜·丽莎》的微笑 123
20 修补与数学理论的构造 129
21 数学创造的策略 134
22 数学物理与突现行为 140
23 数学之美妙 148
附录一 与太空来客关于数学的对话 153
附录二 后人类数学 165
译后记 176
索 引 182