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数值方法 读者对象:理工科专业的本科生、研究生以及从事科学工程计算的技术人员 ![]()
本书是一本介绍数值方法的教材, 除了介绍传统数值分析课程所讲授的插值与逼近、数值微分与数值积分、线性与非线性方程组求解、矩阵特征值计算、常微分方程数值方法等, 还介绍了偏微分方程的三大类数值离散方法(有限差分方法、有限元方法、无网格方法). 本书不仅强调算法的推导演算, 还注重介绍算法的收敛性理论和实际应用. 每章最后均附有一些需要理论推导或上机实验的习题, 供读者选用. 本书适合理工科专业的本科生、研究生以及从事科学工程计算的技术人员阅读.
刘智永,2014年毕业于西安交通大学计算数学专业,获博士学位;2017年-2019年复旦大学博士后;现任宁夏大学数学统计学院副教授、硕士生导师,入选"宁夏青年人才托举工程”。主要研究偏微分方程的数值方法,包括多重网格方法、径向基函数多尺度配点算法、强非线性Monge-Ampere 程的数值求解研究。在国内外重要学术期刊上发表 SCI 检索论文18篇。主持国家自然科学项目2项、宁夏省自然科学基金重点项目2项、宁夏省高等学校科研项目(优秀青年教师培育基金项目)1项、中国博士后科学基金面上项目1项。
第1章 插值与逼近.......................................................1
1.1 问题介绍..........................................................1 1.2 多项式插值.......................................................2 1.2.1 概述.......................................................2 1.2.2 Lagrange插值..............................................4 1.2.3 Newton插值...............................................6 1.2.4 分片线性插值..............................................8 1.2.5 Hermite插值..............................................10 1.3 径向基函数插值..................................................13 1.3.1 概述......................................................13 1.3.2 再生核空间...............................................16 1.3.3 误差估计..................................................18 1.4 最佳逼近.........................................................20 1.4.1 最小二乘拟合.............................................20 1.4.2 最佳一致逼近.............................................22 1.4.3 最佳平方逼近.............................................23 1.4.4 正交多项式...............................................24 1.5 注记.............................................................26 习题1................................................................27 第2章 数值微分与数值积分.............................................31 2.1 问题介绍.........................................................31 2.2 数值微分.........................................................31 2.2.1 Taylor展开求导...........................................31 2.2.2 插值型求导...............................................33 2.3 数值积分.........................................................35 2.3.1 中点、梯形和Simpson求积公式..........................35 2.3.2 Newton-Cotes求积公式...................................37 2.3.3 复合求积公式.............................................39 2.3.4 Romberg求积公式........................................40 2.3.5 Gauss求积公式...........................................41 2.4 注记.............................................................45 习题2................................................................46 第3章 求解线性方程组..................................................49 3.1 问题介绍.........................................................49 3.2 直接法...........................................................50 3.2.1 LU分解..................................................50 3.2.2 Cholesky分解.............................................52 3.2.3 QR分解..................................................53 3.3 基本迭代法......................................................56 3.3.1 三种基本迭代法...........................................56 3.3.2 收敛性准则...............................................61 3.4 共轭梯度法......................................................62 3.5 注记.............................................................66 习题3................................................................66 第4章 求解非线性方程组...............................................70 4.1 问题介绍.........................................................70 4.2 非线性方程的迭代法.............................................70 4.2.1 二分法....................................................71 4.2.2 不动点迭代...............................................72 4.2.3 Newton迭代..............................................74 4.2.4 割线法....................................................75 4.3 非线性方程组的迭代法...........................................78 4.3.1 基本非线性迭代法.........................................78 4.3.2 Newton迭代法............................................80 4.3.3 Broyden算法.............................................81 4.4 注记.............................................................83 习题4................................................................84 第5章 矩阵特征值计算..................................................86 5.1 问题介绍.........................................................86 5.2 幂方法...........................................................87 5.2.1 乘幂法....................................................87 5.2.2 反幂法....................................................88 5.3 QR迭代.........................................................90 5.4 Rayleigh商迭代..................................................92 5.5 注记.............................................................94 习题5................................................................94 第6章 常微分方程数值方法.............................................96 6.1 欧拉方法.........................................................97 6.2 Runge-Kutta方法...............................................100 6.2.1 方法介绍.................................................100 6.2.2 常用的Runge-Kutta方法................................101 6.3 线性多步法.....................................................105 6.4 注记............................................................106 习题6...............................................................107 第7章 有限差分方法...................................................109 7.1 偏微分方程及其分类............................................110 7.2 抛物型方程有限差分方法........................................112 7.2.1 1-D抛物型方程离散.....................................112 7.2.2 稳定性、相容性和收敛性.................................114 7.2.3 2-D抛物型方程离散.....................................117 7.2.4 ADI格式................................................118 7.3 双曲型方程有限差分方法........................................120 7.3.1 基本差分方法............................................120 7.3.2 守恒律...................................................122 7.3.3 二阶双曲型方程..........................................123 7.4 椭圆型方程有限差分方法........................................126 7.4.1 基本差分方法............................................126 7.4.2 其他应用.................................................127 7.5 注记............................................................129 习题7...............................................................129 第8章 有限元方法.....................................................132 8.1 一维椭圆型方程离散............................................132 8.2 二维椭圆型方程离散............................................135 8.3 有限元收敛理论.................................................137 8.3.1 变分问题解的存在性.....................................137 8.3.2 Sobolev空间.............................................138 8.3.3 有限元插值理论..........................................140 8.3.4 误差估计.................................................142 8.4 一些常见有限元.................................................143 8.4.1 P1,P2有限元............................................143 8.4.2 Q1,Q2有限元............................................145 8.4.3 其他有限元..............................................147 8.5 注记............................................................149 习题8...............................................................149 第9章 无网格方法.....................................................152 9.1 Kansa方法.....................................................152 9.2 对称配点方法...................................................153 9.3 Galerkin配点方法..............................................154 9.4 多尺度配点方法.................................................155 9.5 基本解方法.....................................................157 9.5.1 PDEs的基本解..........................................157 9.5.2 齐次方程的求解..........................................158 9.5.3 非齐次方程的求解.......................................160 9.6 注记............................................................161 习题9...............................................................161 参考文献.................................................................165
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