随着解析几何及微积分的发明而兴起的现代数学，在其发展过程中，一批卓越的法国数学家发挥了杰出的作用，作出了奠基性的贡献。他们像灿烂的星斗发射着耀眼的光辉，在现代数学史上占据着不可替代的地位，在大学教科书、各种专著及种种数学史著作中都频繁地出现着他们的英名。在他们当中，包括笛卡儿、费尔马、巴斯卡、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶、泊松、柯西、刘维尔、伽罗华、庞加莱、嘉当、勒贝格、魏伊、勒雷、施瓦尔茨及里翁斯等等这些耳熟能详的名字，也包括一些现今仍然健在并继续作出重要贡献的著名数学家。由于他们的出色成就和深远影响，法国的数学不仅具有深厚的根基和领先的水平，而且具有优秀的传统和独特的风格，一直在国际数学界享有盛誉。

　　我国的现代数学，在20世纪初通过学习西方及日本才开始起步，并在艰难曲折中发展与成长，终能在2002年成功地在北京举办了国际数学家大会。在一个世纪的时间中基本上跟上了西方历经四个多世纪的现代数学发展的步伐、实现了跨越式的发展。这一巨大的成功，源于好几代数学家持续不断的艰苦奋斗，源于我们国家综合国力的提高所给予的有力支撑，源于改革开放国策所带来的强大推动，也源于很多国际数学界同仁的长期鼓励、支持与帮助。在这当中，法兰西数学精品长期以来对我国数学界所起的积极影响，法兰西数学的深厚根基、无比活力和优秀传统对我国数学家所起的不可低估的潜移默化作用，无疑也是一个不容忽视的因素。足以证明这一点的是：在我国的数学家中，有不少就曾经留学法国，直接受到法国数学家的栽培和法兰西数学传统和风格的薰陶与感召，而更多的人也或多或少地通过汲取法国数学精品的营养而逐步走向了自己的成熟与辉煌。

第零章 复习和补充

0.0 记号，复习

0.1 外代数

0.2 微分法

0.3 向量空间的开集上的微分形式

0.4 积分法

0.5 习题

第一章 微分方程

1.1 概述

1.2 不依赖时间的微分方程：局部解的存在性

1.3 整体唯一性研究，整体流

1.4 依赖时间的向量场，依赖一个参数的向量场

1.5 唯一性和对于依赖时问的向量场的整体流

1.6 相关知识和线性方程

第二章 微分流形

2.1 Rn的子流形

2.2 抽象流形

2.3 态射

2.4 覆叠映射.商

2.5 切空间

2.6 子流形，浸入，浸没，嵌入

2.7 单位法丛，管形

2.8 习题

第三章 单位分解、密度、曲线

3.1 紧致流形的嵌入

3.2 单位分解

3.3 流形上的密度

3.4 一维连通流形的分类

3.5 流形上的向量场和微分方程

3.6 习题

第四章 临界点

4.1 定义.例子

4.2 数值函数的非退化临界点.莫尔斯的简约

4.3 萨德定理

4.4 习题

第五章 流形上的微分法

5.1 丛以ArT*X

5.2 流形上的微分形式

5.3 最大阶的微分形式和定向

5.4 德拉姆群

5.5 李导数

5.6 星形开集，庞加莱引理

5.7 球面和射影空间的德拉姆群

5.8 环面的德拉姆群

5.9 习题

第六章 流形上的积分法

6.1 d维定向流形上d阶微分形式的积分

6.2 斯托克斯定理

6.3 斯托克斯定理的第一批应用

6.4 欧几里得空问的定向子流形的典范体积形式

6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积

6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度

6.7 管形的体积Ⅰ：体积形式的补充

6.8 管形的体积Ⅱ

6.9 管形的体积Ⅲ

6.10 习题

第七章 映射度理论

7.1 预备引理

7.2 德拉姆群Rd(x)的确定

7.3 映射度

7.4 映射度对于同伦的不变性.应用

7.5 管形的体积f结尾)和高斯一博内公式

7.6 属于c0(s1；s1)的映射的映射度

7.7 抽象流形上向量场的指标

7.8 习题

第八章 曲线的局部理论

8.0 引言

8.1 定义

8.2 仿射不变量：切线，密切平面，凸性

8.3 长度，欧几里得空间的曲线的弧长参数表示

8.4 欧几里得空间的曲线的曲率

8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率

8.6 欧几里得空间(3维的)双正则曲线的挠率

8.7 习题

第九章 平面曲线的整体理论

9.1 定义

9.2 若尔当定理

9.3 等周不等式

9.4 平面曲线的回转数

9.5 切线回转定理

9.6 整体凸性

9.7 四顶点定理

9.8 法布里修斯布耶尔哈泊恩公式

9.9 习题

第十章 R0的曲面的局部理论的简短导引

10.1 定义

10.2 例子

10.3 曲面的两个基本形式

10.4 通过第一基本形式计算的量(2维黎曼几何)

10.5 高斯曲率

10.6 第二基本形式以及通过它计算的量

10.7 曲面的两个基本形式之间的关系

10.8 关于Rn+1中的超曲面

第十一章 曲面的整体理论的简短导引

第一部分 2维整体黎曼流形

11.1 最短路径的整体问题

11.2 常曲率的曲面

11.3 度量性质：一阶和二阶变分公式

11.4 最短路径的唯一性和单射半径

11.5 K≥k的流形

11.6 K≤k的流形

11.7 高斯-博内公式和霍普夫公式

11.8 曲面上的等周不等式

11.9 周期测地线和等收缩不等式

11.10 只有周期测地线的曲面

11.11两部分问的过渡：嵌入和浸入问题

第二部分 嵌入或浸入到R3内的曲面

11.12 零曲率的曲面

11.13 高斯曲率为正或零的曲面

11.14 唯一性和刚性

11.15 K<0的曲面

11.16 平均曲率为零的曲面，又名极小曲面

11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面

11.18 魏因加滕曲面

11.19 作为平面族的包络的曲面：公式和应用

11.20 对于曲面的等周不等式

11.21 花束：球面和迪潘四次圆纹曲面的表征

参考文献

法中术语对照

索引

　　11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面

　　我们在10.6.9已经知道研究平均曲率H为常数的曲面的两个动机。一个是物理学的，另一个在于证明等周不等式。我们现在在整体曲面的情形下考虑它们，并致力于回答存在性和唯一性问题。这需要在紧致的情形下进行，因为否则的话，我们在10.6.9.6 已经有了德洛内曲面。

　　11.17.1 球面情形

　　首先要问的是，在球面以外，是否还存在H是常数的紧致曲面？1899年以来，针对高斯曲率K处处为正的情形，里布曼就以否定方式回答了这个问题（参见11.14）。所用方法是下节所用方法的一个特殊情形，并且经过希尔伯特的推广。在广泛运用科达齐-马伊纳尔迪方程（参见10.7）之后人们指出曲面的所有点都是脐点。再应用10.6.4 末尾的结论：即使在局部情形下，球面是仅有的其所有点都是脐点的曲面。

　　11.17.2 亚历山德洛夫定理和霍普夫定理

　　现在如果取消条件K>0，并且同时允许所有类型的拓扑，情形将会怎样？在1955年，亚历山德洛夫证明了所有嵌入到R0的曲面S，如果它是紧致的，并且其平均曲率日是常数，则它必是球面，证明非常困难；它把分析和几何交织在一起，在那里得出结论：所有方向都是s的一个对称平面的法向量的方向。参阅卓越的文献［62］，以及［64］的第9章（补遗）。