数理逻辑是研究推理，特别是研究数学中的推理的科学。本书陈述数理逻辑的基础性知识，包括逻辑演算（这里是指命题逻辑和一阶谓词逻辑）的基本内容，这些内容构成数理逻辑各个分支（模型论、证明论和构造性数学、递归论、集合论）的共同的基础。
数理逻辑的思想可以溯源到莱布尼兹，而命题逻辑和一阶谓词逻辑的研究则从弗雷格开始。以后，经过皮尔斯，施罗德，皮亚诺，怀德海与罗素，勒文海姆，斯柯伦9等的研究，特别是经过了希尔伯特与阿克曼、贝尔奈斯的研究和整理，谓词逻辑的体系得以形成；而在哥德尔证明了一阶逻辑的完全性定理之后，这个逻辑演算的体系可以说是最后得到完成。
逻辑演算是反映前提和结论之间的推理关系的形式系统。在数理逻辑的历史发展中，构造了逻辑演算的重官式系统。在重言式系统中，以某些形式公理和形式推理规则刻划重言式的全体，以重言式反映推理关系。
然而，重言式系统中的形式公理（它们本身都是重言式）并不揭示出推理的性质。形式公理的涵义是并不直观、并不明显的。用重言式系统中的形式推理来反映演绎推理是不直接、不自然的，于是出现了一些较为直接地反映推理关系的逻辑演算。由厄尔勃朗证明的演绎定理就是比较直接地反映推理关系的，以后，在雅思柯夫斯基，根岑等的著作中，也表明了这种趋势。又如在克利尼的《元数学导引》一书中所构造的逻辑演算，虽然仍然是重言式系统，但在其中定义了有前提的形式推理，并且利用演绎定理得出直接反映推理关系的形式推理关系，这也表明了上面所说的趋势，
本书按照直接而自然地反映推理关系的要求来构造逻辑演算，这是逻辑演算的自然推理系统。本书中构造的自然推理系统既是一种严格的形式的数学语言，又与通常的数学语言很接近。王宪钧同志在1940年前后曾告诉作者之一，沈有鼎同志在三十年代初就有了关于构造逻辑演算的自然推理系统的思想。本书所构造的自然推理系统是受到这种思想的启发的，
文献中已有的带函数词的谓词逻辑往往是其中的函数词只表示全函数，即在论域中处处有定义的函数，本书中构造了两个带函数词的谓词逻辑，一个里面的函数词表示全函数，另一个里面的函数词表示全函数或者偏函数，即在论域中并非处处有定义的函数。
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